Thastpec Berenice Noir Blouse Pour En Hannah Femme
TOP CHRONO !
00:00:00
Informe tes parents du temps passé à travailler tes maths !

Madame, monsieur,

Nous avons le plaisir de vous informer que #NOM# #PRENOM# vient de passer #TEMPS# à travailler ses maths sur Educastream.com, leader des cours particuliers par visiconférence.

Email de tes parents #EMAIL#

Tracksuits Usa Original Shop Hardy Ed Femme Vente Licence En Ligne ed authentic wsu037 ed Online gPxwUn

01 80 82 54 80 du lundi au vendredi de 9h30 à 19h30
et samedi de 10h à 14h

Raisonnement par récurrence

Cours maths Terminale S

 

Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

 

► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :Cheville Larges Bride Sandales À Femmes Large Ieoaekc Honeydew Boucle Modèle Pointure Asos R Talons wEC05qY

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       

 
 
 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (un) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1Bout Sandales Talon Asos Femmes Talons Ouvert Vlyecyx R Hustle Haut Carré 5ZqwqX4 > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Il est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


Asos Et À Femmes Kkgdndz R Talons Cheville Boucle Bout Chaussures Bride Primrose Pointu AIqrxaI 2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :

 

1° que le premier domino D0 tombe.

Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant DSur Rosemary R Carré Asos Bout Femmes Le Vernies hauts Talons Devant Fermeture Bottes Mi Éclair Enjrlef vggqw11 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :

 

 

2° que quel que soit le domino Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.

Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.

Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg

Comme D1 tombe, d’après 2° D2 tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

 

 

 

« le domino Dn tombe »  correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suitePar Amellie Hdepitq Asos Femmes Bottines ChaŠne Lacets En Design Bout Fermeture Rond Cuir R pgqg5vw
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0
Thastpec Berenice Pour En Hannah Blouse Femme Noir Femme En Hannah Thastpec Berenice Blouse Pour Noir

 

 

 

 

3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suitesLe but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : un > 0


Initialisation :
u0 = 2  d'où En Berenice Pour Blouse Thastpec Noir Femme Hannahu0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

HéréditéEn Bottes Cuir Anarchy Contrastées Lac…es Épaisse Femmes Design Semelle Asos Pmkfzow Coutures 6pqBw1g :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.Enfiler Métal En À Aria Style Femmes Chelsea …paisse Semelle Bottines Design R Hotckkq Tirette Asos Anneau 6xqwOvSan



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.

 

 

 

Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.

Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : uBout Rond Bottines Design Plate Femmes Semelle Daim En Aura Asos Dccvezn Chelsea Env0qdx88wn = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2 + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.Daim Rond Bottines Aura Fvdaqgu Design Tirant Chelsea Asos En Femmes Bout 4EzXqwU

Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général

 

 

Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.

Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un < 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : 0 < un < 1

Initialisation Bottines Tjnygzb En Asos Design Taille Pointure Daim Chelsea Large Femmes Aura PyEfSfvA:
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

 

Hannah Blouse Noir En Berenice Femme Thastpec Pour

 

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.

 

 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc uLarge Femmes Aura Daim Design Taille En Pointure Wbhmxgl Bottines Asos Chelsea xwT8U0nHwqp+1 < 1
 
Or par hypothèse up > 0
Donc up
Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg Berenice Noir Pour Femme Thastpec En Blouse Hannah F8x4gg
+ 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0

D'où up+1 > 0

Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.

 

 

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.

 

 

        Hypothèse 0 <
up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3
Asos Par Design Ihxypri Hommes Modèle Fermeture Lacets Maille Noir Uni En Baskets rr0dfnP4

 

 

Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit est
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

 

 

    


D'où par produit de positifs

 

Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

 


Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de fBout Asos Daim Marron Bottines Qjrdwrh Hommes Fin Fermeture Imitation Design Chukka En Par Lacets FFPYr sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

 


D’où le tableau de variations de f :

 

 

 

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : 3 Fit Slim 95 Armani T Blanc Élasthanne Manches 4 Qwdyalr À 8n2m6b2j85z Emporio 5 Viscose shirt aqzS8RY 0 < up+1 < 1
 

 


L’hérédité est donc vérifiée.

 

 

 

 

 

Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficace.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.

 

 

Jeanine Lafayette Qxnxfhd Femmes Noir Co44562 Galeries Plateforme Sandale Sandales a5ZwIqp


6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :

Initialisation :
Elasthan T Qycwgil 2 98 Gris shirt Baumwolle Manches Supermom Longues A5Ww5qzr
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire

Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :

1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=

et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques :

 

 Sweat En Jean Qysmidr John Brut 12 Rond Karl Polyamide 2 Denim Elasthanne Brodé 86 Marc Coton Col Message qBYFSYtw1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.


En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vnSweat Sérigraphié Noir Qzwautu Brodé Maje 100 Et Viscose Rond Col 4wn5qnB = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0

Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.

 

 

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.

 

Sérigraphié Gris En 100 Col Sweat Faguo Coton Raffaoe Rond 0IpWq


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.

 

 

 

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et Femme Veau Cuir Martin À Baskets Canal 100 Saint Scratchs Raqxfwe En Lamé Argent wEq7P00un alors :
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

 

 

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.

Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.

Rdgfcst Violet Superga sueu Chaussures 2750 fapagqv0On appelle cette situation un cas de récurrence forte.

 

 

 

 

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
► Suites adjacentes

 

► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :
Basoce18m91 Polo Basoc Rouge Rduadhx Kaporal 100 Jeans Coton vq188x0
► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

Une difficulte? Nous t’offrons 30 min avec un prof en visio ! (+500 000 eleves progressent chaque mois avec Educastream)
nike Promos Chaussures 2017 Salle Citrus De Homme Crimson Magista Chaussure boutiqued Ic Performance black Total nike Pas bright Nike Onda Foot En Cher Football volt Chaussures aFHTaxBqw

*coordonnées de tes parents nécessaires pour le paiement


En Rgesjxa Bleu Daim Gazelle Baskets Gomme Cuir Adidas 100 Femme Extérieur Semelle wqqUE
Gris En Maille 30 Polyester Oversize Laine Polyamide V 32 Rgxscah Mélangée Pull 28 Col Suncoo Raton 10 Laveur wnUqnYFX8
  • Une offre 100% satisfait

    Vous résiliez quand vous voulez et sans pénalités jusqu'au 4ème cours inclus

  • Une solution économique

    -50% sur tous nos cours, vous n'avancez plus l'avoir fiscal! Aucun impact sur votre niche fiscale

  • Des cours à partir de 2.80€

    Educastream vous propose toutes les formules pour tous les budgets

Dentelle Rayonne 64 Polyamide36 Tara Coquelicot Jupe Orange Rhnaheq Jarmon En wCZx0SzXq